Exercice 3
Objectif: le but de cet exercice est d'établir une propriété
algébrique de la fonction exponentielle.
Propriétés utilisées:
La fonction exponentielle est la seule fonction vérifiant:
f'=f'; f(0) = 1
• La dérivée de la fonction produit (u•v) a pour expres-
sion: (u•v)'=u'•v + u•v'
Pour a,b € R, on a: [exp(a•x+b)]' = a•exp (a•x+b)
1. Pour cela, on considère la fonction g dérivable et définie
sur R par: g(x) = exp (x)•exp(-x)
a. Montrer que pour tout x€R, on a: g'(x) = 0
b. Justifier que, pour tout x€R: g(x)=1
2.
a.Déduire de la propriété précédente que la fonction
exponentielle ne s'annule jamais. C'est-à-dire que pour
tout x€R: exp(x) ≠ 0
b. Nous allons établir que:
exp(-x)=1/exp(x)